Lineare Gleichungssysteme: Systematische Lösungsverfahren
Was sind lineare Gleichungssysteme?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. In Matrixform schreibt man: Ax = b, wobei A die Koeffizientenmatrix, x der Lösungsvektor und b der Ergebnisvektor ist.
Beispiel: Das System
2x + y = 5
x + 3y = 6
entspricht der Matrixgleichung [2 1; 1 3]·[x; y] = [5; 6]
Lösbarkeit
Ein lineares Gleichungssystem kann haben:
Genau eine Lösung – wenn det(A) ≠ 0 (reguläre Matrix)
Unendlich viele Lösungen – wenn die Gleichungen linear abhängig sind
Keine Lösung – wenn die Gleichungen widersprüchlich sind
Gauß-Elimination
Die Gauß-Elimination ist das Standardverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Sie besteht aus zwei Phasen:
Phase 1: Vorwärtselimination
Bringe die erweiterte Matrix [A|b] in Zeilenstufenform (obere Dreiecksmatrix):
- Wähle das betragsgrößte Element als Pivot (Pivotisierung)
- Eliminiere alle Elemente unterhalb des Pivots
- Wiederhole für die nächste Spalte
Phase 2: Rückwärtseinsetzen
Löse das System von unten nach oben:
- Beginne mit der letzten Gleichung (nur eine Unbekannte)
- Setze die Lösung in die vorherige Gleichung ein
- Arbeite dich nach oben durch
Pivotisierung
Die Pivotisierung ist entscheidend für numerische Stabilität. Man wählt in jeder Spalte das betragsgrößte Element als Pivot und vertauscht gegebenenfalls Zeilen.
Warum wichtig? Division durch sehr kleine Zahlen führt zu großen Rundungsfehlern. Die Pivotisierung minimiert dieses Problem.
Alternative Lösungsmethoden
Cramersche Regel
Lösung durch Determinanten: xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), wobei Aᵢ die Matrix A mit ersetzter i-ter Spalte durch b ist. Nur für kleine Systeme praktikabel.
Matrix-Inverse
x = A⁻¹b. Ineffizient für große Systeme, da Berechnung von A⁻¹ aufwendig ist.
LU-Zerlegung
Zerlege A = LU, löse dann Ly = b und Ux = y. Effizient für mehrere rechte Seiten.
Iterative Verfahren
Jacobi, Gauß-Seidel, CG-Verfahren. Für sehr große, dünn besetzte Systeme.
Komplexität und Effizienz
Die Gauß-Elimination hat eine Zeitkomplexität von O(n³) für ein n×n-System. Für große Systeme (n > 1000) werden oft spezialisierte Verfahren verwendet.
Operationen: Etwa (2/3)n³ Multiplikationen und Additionen für die Elimination, plus n²/2 für das Rückwärtseinsetzen.
Praktische Anwendungen
🏗️ Ingenieurwesen
Finite-Elemente-Methode, Strukturanalyse, Strömungssimulation
💡 Elektrotechnik
Netzwerkanalyse, Kirchhoffsche Gesetze, Schaltungsberechnung
📊 Ökonometrie
Lineare Regression, Input-Output-Modelle, Optimierung
🎮 Computergrafik
Beleuchtungsmodelle, Radiosity, Interpolation
Tipps für die Praxis
- Überprüfen Sie zuerst, ob det(A) ≠ 0 für eindeutige Lösbarkeit
- Nutzen Sie Pivotisierung für numerische Stabilität
- Verifizieren Sie die Lösung durch Einsetzen: Ax ≈ b
- Bei schlecht konditionierten Systemen: Skalierung der Gleichungen erwägen
- Für mehrere rechte Seiten: LU-Zerlegung ist effizienter