Vektoroperationen: Ein umfassender Leitfaden
Was sind Vektoren?
Vektoren sind mathematische Objekte, die sowohl eine Größe (Betrag) als auch eine Richtung besitzen. Im Gegensatz zu Skalaren (einfachen Zahlen) können Vektoren mehrdimensionale Informationen darstellen. Sie werden in der Physik für Kräfte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen verwendet, in der Computergrafik für Positionen und Richtungen, und im maschinellen Lernen für Feature-Darstellungen.
Ein Vektor wird üblicherweise als geordnete Liste von Zahlen dargestellt: v = [v₁, v₂, v₃]. In unserem Tool können Sie mit 2D-, 3D- und 4D-Vektoren arbeiten.
Vektoraddition und -subtraktion
Die Addition zweier Vektoren erfolgt komponentenweise: Wenn a = [a₁, a₂, a₃] und b = [b₁, b₂, b₃], dann ist a + b = [a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃]. Geometrisch entspricht dies der Parallelogrammregel.
Praktisches Beispiel: In der Physik addieren Sie Geschwindigkeitsvektoren, um die resultierende Geschwindigkeit zu berechnen. Wenn ein Boot mit 5 m/s nach Norden fährt und der Fluss mit 3 m/s nach Osten fließt, ergibt die Vektoraddition die tatsächliche Bewegungsrichtung.
Skalarprodukt (Dot Product)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos(θ), wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Das Ergebnis ist ein Skalar (eine einzelne Zahl).
Wichtige Eigenschaften:
- Wenn a·b = 0, sind die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander)
- Wenn a·b > 0, zeigen die Vektoren in ähnliche Richtungen
- Wenn a·b < 0, zeigen die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen
Anwendung: Im maschinellen Lernen wird das Skalarprodukt verwendet, um die Ähnlichkeit zwischen Feature-Vektoren zu messen. In der Physik berechnet man damit die Arbeit: W = F·s.
Kreuzprodukt (Cross Product)
Das Kreuzprodukt ist nur für 3D-Vektoren definiert und erzeugt einen neuen Vektor, der senkrecht zu beiden Eingangsvektoren steht. Für a = [a₁, a₂, a₃] und b = [b₁, b₂, b₃] gilt:
a×b = [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]
Der Betrag |a×b| = |a||b|sin(θ) entspricht der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms.
Anwendungen: Berechnung von Drehmomenten in der Mechanik, Normalenvektoren in der Computergrafik, und Magnetfeldberechnungen in der Elektrodynamik (Lorentzkraft: F = q(v×B)).
Vektorlänge (Norm)
Die Länge oder der Betrag eines Vektors wird mit der euklidischen Norm berechnet: |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²). Dies ist eine direkte Anwendung des Satzes von Pythagoras.
Normalisierung: Ein Vektor kann normalisiert werden, indem man ihn durch seine Länge teilt: v̂ = v/|v|. Der resultierende Einheitsvektor hat die Länge 1 und behält die Richtung bei.
Tipps zur Verwendung
- Wählen Sie die passende Dimension für Ihr Problem (2D für ebene Geometrie, 3D für räumliche Probleme)
- Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt |v|²
- Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: a×b = -(b×a)
- Nutzen Sie die Beispieldaten als Ausgangspunkt für Ihre Berechnungen